Dãy vi thừa H n ( a , b ) : ( N 0 ) 3 → N 0 {\displaystyle H_{n}(a,b)\,:\,(\mathbb {N} _{0})^{3}\rightarrow \mathbb {N} _{0}} là một dãy các phép toán hai ngôi H n : ( N 0 ) 2 → N 0 {\displaystyle H_{n}\,:\,(\mathbb {N} _{0})^{2}\rightarrow \mathbb {N} _{0}} , định nghĩa đệ quy như sau:

H n ( a , b ) = a [ n ] b = { b + 1 nếu  n = 0 a nếu  n = 1  và  b = 0 0 nếu  n = 2  và  b = 0 1 nếu  n ≥ 3  và  b = 0 H n − 1 ( a , H n ( a , b − 1 ) ) cách khác {\displaystyle H_{n}(a,b)=a[n]b={\begin{cases}b+1&{\text{nếu }}n=0\\a&{\text{nếu }}n=1{\text{ và }}b=0\\0&{\text{nếu }}n=2{\text{ và }}b=0\\1&{\text{nếu }}n\geq 3{\text{ và }}b=0\\H_{n-1}(a,H_{n}(a,b-1))&{\text{cách khác}}\end{cases}}}

(Lưu ý rằng đối với n = 0, phép toán hai ngôi về cơ bản sẽ giảm xuống còn phép toán một ngôi (hàm tiết triển) bằng cách bỏ qua đối số đầu tiên.)

Với n = 0, 1, 2, 3, định nghĩa này tái tạo các phép toán số học cơ bản của tiết triển (là một phép toán một ngôi), cộng, nhân và luỹ thừa, tương ứng, như

H 0 ( a , b ) = b + 1 , H 1 ( a , b ) = a + b , H 2 ( a , b ) = a ⋅ b , H 3 ( a , b ) = a ↑ b = a b , {\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}(a,b)&=b+1\,\!,\\H_{1}(a,b)&=a+b\,\!,\\H_{2}(a,b)&=a\cdot b\,\!,\\H_{3}(a,b)&=a\uparrow {b}=a^{b}\,\!,\end{aligned}}}

Vậy hoạt động tiếp theo sau lũy thừa là gì? Chúng ta đã xác định phép nhân sao cho H 2 ( a , 3 ) = a [ 2 ] 3 = a × 3 = a + a + a , {\displaystyle H_{2}(a,3)=a[2]3=a\times 3=a+a+a,} , và xác định lũy thừa sao cho H 3 ( a , 3 ) = a [ 3 ] 3 = a 3 = a ⋅ a ⋅ a , {\displaystyle H_{3}(a,3)=a[3]3=a^{3}=a\cdot a\cdot a,} vì vậy có vẻ hợp lý để xác định các phép toán tiếp theo, túc thừa, sao cho H 4 ( a , 3 ) = a [ 4 ] 3 = tetration ⁡ ( a , 3 ) = a a a , {\displaystyle H_{4}(a,3)=a[4]3=\operatorname {tetration} (a,3)=a^{a^{a}},} với một tháp của ba 'a'. Tương tự, thụ thừa của (a, 3) sẽ là tetration (a, tetration (a, a)), với ba "a" trong đó.

Nếu các phép toán H có n ≥ 3 thì có thể được viết bằng ký hiệu mũi tên lên Knuth như sau:

H 4 ( a , b ) = a ↑↑ b = b a , H 5 ( a , b ) = a ↑↑↑ b = b a , … H n ( a , b ) = a ↑ n − 2 b  với  n ≥ 3 , … {\displaystyle {\begin{aligned}H_{4}(a,b)&=a\uparrow \uparrow {b}=\;^{b}a\,\!,\\H_{5}(a,b)&=a\uparrow \uparrow \uparrow {b}=\;_{b}a\,\!,\\\ldots &\\H_{n}(a,b)&=a\uparrow ^{n-2}b{\text{ với }}n\geq 3\,\!,\\\ldots &\\\end{aligned}}}

Ký hiệu Knuth có thể được mở rộng thành các chỉ số âm ≥ -2 theo cách đồng ý với toàn bộ dãy vi thừa, ngoại trừ độ trễ trong việc lập chỉ mục:

H n ( a , b ) = a ↑ n − 2 b  for  n ≥ 0. {\displaystyle H_{n}(a,b)=a\uparrow ^{n-2}b{\text{ for }}n\geq 0.}

Các vi thừa có thể được coi là một câu trả lời cho câu hỏi “cái gì tiếp theo” trong dãy: tiết triển, cộng, nhân, luỹ thừa, và v.v.. Ghi chú điều đó

a + b = ( a + ( b − 1 ) ) + 1 a ⋅ b = a + ( a ⋅ ( b − 1 ) ) a b = a ⋅ ( a ( b − 1 ) ) a [ 4 ] b = a a [ 4 ] ( b − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}a+b&=(a+(b-1))+1\\a\cdot b&=a+(a\cdot (b-1))\\a^{b}&=a\cdot \left(a^{(b-1)}\right)\\a[4]b&=a^{a[4](b-1)}\end{aligned}}}

Mối quan hệ giữa các phép toán số học cơ bản được minh họa, cho phép các phép toán (vi thừa) cao hơn được xác định một cách tự nhiên như trên. Các tham số của hệ thống phân cấp vi thừa đôi khi được gọi bằng thuật ngữ lũy thừa tương tự của chúng,[1] vì vậy a là cơ số, b là số mũ (hoặc siêu mũ), e), và n là bậc (hoặc cấp), và H n ( a , b ) {\displaystyle H_{n}(a,b)} được đọc là "n-thừa bậc b của a", ví dụ: H 4 ( 7 , 9 ) {\displaystyle H_{4}(7,9)} được đọc là "túc thừa bậc 9 của 7", và H 123 ( 456 , 789 ) {\displaystyle H_{123}(456,789)} được đọc là "123-thừa bậc 789 của 456".

Nói một cách phổ biến, các vi thừa là những cách ghép các số tăng theo sự tăng trưởng dựa trên sự lặp lại của các vi thừa trước đó. Các khái niệm tiết triển, cộng, nhân và lũy thừa đều là các vi thừa, phép tiết triển (tạo x + 1 từ x) là cơ bản nhất, phép cộng xác định số lần 1 được cộng thêm vào chính nó để tạo ra giá trị cuối cùng, phép nhân xác định số lần một số được thêm vào chính nó, và luỹ thừa đề cập đến số lần một số được nhân với chính nó.